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Les filtres :

NB: L'aspect mathématique n'est à prendre en compte que par les curieux!!!

Un filtre est une fonction électronique qui agit sur un signal pouvant contenir plusieurs fréquences, en donnant une réponse (un fonctionnement) différente suivant ces fréquences.

Ils sont utilisés, pour ce qui nous concerne:

  • en réception :pour limiter la bande de fréquence reçue, pour définir le gabarit de l'étage "fréquence intermédiaire" (FI), pour isoler une fréquence à la sortie d'un démodulateur...etc.
  • en émission : pour isoler la bande latérale à utliser, pour limiter les harmoniques ou fréquences indésirables à la sortie d'un amplificateur RF ou encore limiter le spectre lors d'une émission en modulation de fréquence.

 filtre1

La relation qui existe entre la sortie et l’entrée du filtre s’appelle la réponse, vs= f (ve). La réponse du filtre pourrait se représenter de la manière suivante :

 filtre2

A l’entrée de la fonction filtre, il existe plusieurs signaux de fréquence différente mais de même amplitude.

A la sortie, les mêmes signaux existent toujours mais avec des amplitudes différentes.

Gabarit du filtre :

Dans le fonctionnement d’un montage électrique ou radio électrique, il est nécessaire de respecter des contraintes qui définissent le bon fonctionnement du système. Ces contraintes sont exprimées sous la forme d’un gabarit qui permet la détermination des composants du filtre.

Exemple d’un gabarit idéal de filtre céramique pour récepteur FM.

filtre3

Un gabarit est défini par :

-          Fréquences de coupure ou fréquence centrale du filtre suivant le cas

-          Atténuation de la bande supprimée

Caractéristiques complémentaires :

-          Ondulation admissible dans la bande passante

-          Perte d’insertion

Impédance

Taux de sélectivité:

selectivite

I

 

Divers types de filtre :

Les quatre fonctions « filtre » de base sont :

-          Le filtre passe-bas

filtre4

-          Le filtre passe-haut

filtre5

-          Le filtre passe-bande

filtre6

-          Le filtre réjecteur ou coupe-bande

filtre7

1-      FILTRES RC (premier ordre)      

  1. a.Filtre passe-bas :

Soit le schéma suivant :

filtre10

Sa courbe de réponse à une entrée sinusoïdale est la suivante :

filtre20

La fréquence de coupure du filtre est la fréquence pour laquelle l’impédance du condensateur égale la valeur de la résistance. Elle est donnée par la formule : fc = 1 / (2pRC). A cette fréquence, la tension de sortie du filtre perd 3 dB par rapport à la tension de sortie en basse fréquence.

L’application numérique utilisant les valeurs de la simulation donne : fc = 159 kHz.

La bande passante est la bande de fréquence où la variation de la tension est inférieure a -3dB.

La pente de la courbe à l’extérieur de la bande passante est de -20dB par décade (f x 10) ou encore de -6dB par octave (fx2). Cette pente est caractéristique des filtres du premier ordre, c'est-à-dire par des filtres ne comportant qu’une seule résistance et une seule réactance (self ou capacité).

  1. Détermination de la transmittance du filtre passe-bas:

filtre23

C’est à partir de ce résultat que sont tirées les caractéristiques du filtre :

ω << ω0 TdB = 0 dB
ω >> ω0 TdB à - ∞
Si ω = 10 ω0 Tdb à -20dB
Si ω = 2 ω0 Tdb à -6dB

 

 

  1. b.Filtre passe-haut :

En permutant la résistance et le condensateur le filtre passe-bas est transformé en filtre passe haut.

filtre22

La courbe de réponse est la suivante :

filtre21

La fréquence de coupure, définie comme pour le passe bas est toujours fc = 1/ (2pRC). La pente hors bande passante est +20 dB par décade ou +6 dB par octave.

Détermination de la transmittance du passe-haut 1er ordre :

filtre26

Exploitation de la formule :

ω >> ω0 TdB = 0
ω << ω0 TdB => -∞
ω = ω0 Tdb = - 3 dB

 

  1. c.Exemple de 2 cellules RC en passe bas :

La mise en cascade de deux filtres du premier ordre transforme l’ensemble en filtre du second ordre (pente hors bande passante à -40db par décade, fréquence de coupure à – 6dB)

a-      Schéma :

filtre25

Attention aux valeurs des composants, la deuxième cellule ne doit pas trop perturber la première cellule.

b-      Réponse en fréquence :

filtre24

La fréquence de coupure a été conservée (fc = 159 kHz) et la pente du filtre, hors bande passante, est doublée -40db par décade ou -12db par octave.

Remarque :

Les filtres RC sont utilisés là où la puissance mise en jeu est très faible. Dans le cas de puissance, les filtres LC sont toujours utilisés. La présence de résistances dissipant de l’énergie sont très néfaste au rendement du circuit filtre.

2-      Filtres LC (deuxième ordre) :

  1. a.Passe bas LC :

La résistance représente la résistance de la bobine.

filtre33

La réponse en fréquence de ce filtre est la suivante :

filtre31

La fréquence de coupure correspond à la fréquence de résonnance fc= 1/2π(LC) soit ≈159 kHz. L’affaiblissement dans la bande passante est de 0 dB. La pente, hors bande passante, est de -40 dB par décade. Une surtension est présente à la fréquence de coupure. Elle est d'autant plus grande que le coefficient Q est grand.

Détermination de la transmittance du filtre :

 equation1

 

Les propriétés suivantes en sont déduites :

ω = ω0  Tω = Q
ω << ω0 Tω ≈ 1
ω >> ω0 Tω => -∞


 Filtre passe haut LC:

Sur le schéma, le composant L est permuté avec C.

 filtre35

La courbe de réponse du filtre est la suivante:

filtre32

Détermination de la transmittance du filtre:

equation2

On peut en tirer le comportement suivant:

 

Pour ω>> ω0 T≈1 ou 0dB
Pour ω<<ω0 T-> 0
Pour ω=ω0 T= (1+Q2) ≈ T = Q si Q>>1

 

 La pente, dans la bande atténuée ets de + 40 db par décade (+12 par octave).

 

 

Autres types de filtre :

-          Les filtres actifs qui nécessitent l’apport d’énergie (alimentation de transistors, amplificateurs intégrés.

filtre50

Filtre à variables d’état utilisant des amplificateurs intégrés (alimentations non représentées). Suivant la sortie utilisée on peut avoir un passe haut, passe bas, ou passe bande.

-          Les filtres mécaniques (à lames, à onde de surface, cavité résonnantes) qui utilisent une résonnance mécanique pour filtrer les diverses fréquences.

  • Filtre à onde de surface

 

 

saw2SAW1

saw3

  • Exemple de cavités résonnantes VHF (F8APF)

cavite uhfmodif cavite helice

  • Filtre à quartzs

 Un quartz est un composant ayant des propriétés pièzoélectriques. Il assure une conversion énergie mécanique=> énergie électrique ou inversement. A l'origine il était taillé à partir d'un cristal de quartz (cristal de roche). A l'heure actuelle, des céramiques synthétiques remplace le cristal de roche.

Le schéma équivalent d'un quartz est le suivant :

 quartz10

Les éléments L, RS et CS représente l'équivalent de caractéristiques mécaniques. Cp est la capacité inter électrodes. Le coefficient de surtension équivalent est très grand.

La détremination de l'impédance du quartz met en évidence deux fréquences de résonnance, une fréquence série (impédance minimun) et une fréquence parallèle (impédance maximum).

quartz2

La combinaison de plusieurs quartzs permet de réaliser des filtres très performant surtrout sur la pente abrupte séparant bande passante des bandes atténuées.

quatrz2quartz1

 

  filtre quartz1

-          Les filtres numériques qui sont basés sur le traitement informatique d’échantillons de signal (traitement du signal, SDR).

Exemple de traitement d'un filtre passe bas (d'après Electronique Maneville et Esquieu/ DUNOD)

yn représentant un échantillon du signal de sortie à l'instant t et  xn représente un échantillon du signal à traiter à l'instant t:

yn = - 0,0485 (xn+ xn-15) + 0,0308(xn-1+xn-14) + 0,0678(xn-2 +xn-13) - 0,0079(xn-3+xn-12) - 0,0981(xn-4+xn-11) - 0,0385(xn-5+xn-10) +0,1899(xn-6+xn-9) + 0,4045(xn-7+xn-8)

Un tableur EXCEL est utilisé pour les calculs et les représentations:

1 Dans la bande passante du filtre: Entrée puis sortie

num14num15

Le signal est transmis (avec un peu d'ondulation!)

2 Dans la bande atténuée: Entrée puis sortie:

num1num11

Les harmoniques sont atténuées, le signal se rapproche d'un signal sinusoïdal.