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Chapitre 1.6 (partiel) de la deuxième partie

 

Grandeur efficace:

Question posée à l'examen:

Quelle est la tension efficace de ce signal ?

 

axe vertical en volt,  max = 14,1volts

A: 7,05v

B: 8,63v (Bonne réponse)

C: 9.97v

D: 14,1v


En effet, ce signal est la superposition d'une tension continue de 14.1/2 v (soit7, 05v) et d'une tension sinusoïdale de valeur crête à crête de 14,1v soit Umax = 7,05v.

La valeur efficace est la racine carrée de la somme des carrés soit:

√(7,05 2+ (7.05/√2) 2) soit 8.63v

On peut retenir que dans ce cas de forme de signal (sinusoïde, juste décalée de son amplitude, donc comprise entre 0 et 2 Umax, il suffit de multiplier 2 Umax par 0,612 pour obtenir la tension efficace.

Dans ce cas particulier, le calcul ci-dessus peut s'écrire:

√( Umax 2 + (Umax/√2)2) soit  √( Umax2(1+1/2)) => Umax √1,5 => 1.22 Umax

soit aussi 0,612 (2 Umax)


Voici quelques informations, à l'attention des curieux et des formateurs:

Définition d'une valeur efficace:

En électricité, la valeur efficace d'une tension ou d'un courant correspond à la valeur de la tension ou du courant continu qui produirait le même échauffement dans la même résistance en un temps identique.

Mathématiquement, la valeur efficace d'une grandeur est la  racine carrée de la moyenne des carrés de cette grandeur sur un intervalle de temps donné.

En anglais on parle de valeur RMS (Root Mean Square, moyenne quadratique).

Que ce soit pour le courant ou la tension, la démonstration est la même. Prenons le cas du courant.

Mathématiquement la valeur efficace du courant est calculée à partir de la formule suivante:

 Pour faire simple, la puissance dissipée à chaque instant t, dans une résistance, on le sait c’est : p = r*i2. C’est donc le carré du courant qui intervient dans l’échauffement. La formule mathématique, ci-dessus, permet de calculer la valeur moyenne de tous les « i2 » sur une période. Une méthode graphique équivalente sera donnée par la suite.

Ces valeurs efficaces sont mesurées par des calorimètres, on parle alors, de valeur RMS vraie (True Root Mean Square). Si une grandeur efficace n’est obtenue qu’à partir de la valeur moyenne à laquelle ont affecte un coefficient, cette mesure n’est qu’approchée car elle dépend de la forme du signal. C’est le cas de beaucoup d’appareils de mesure simple comme voltmètre ou ampèremètre. Leurs indications ne sont vraies que pour du sinusoïdal alternatif (valeur moyenne nulle).

Pour des formes de signaux courantes, les calculs ont été faits depuis longtemps et quelques résultats sont donnés ci-dessous:

 

Intégration graphique:

Dans le cas de signaux de forme particulière, une méthode graphique peut éviter des calculs fastidieux.

Voyons le cas suivant:

 

On observe la courbe U=f(t) suivante, (une arche de sinusoïde):

Axe vertical en volt, axe horizontal en dizaines de degrés

Nous voulons déterminer sa valeur efficace.

1: Traçons avec la même échelle de temps la courbe u2(t) (courbe en fichier pdf)

 

2: Sur une période (18 unités) déterminons la surface enveloppée par la courbe:

soit: S = 52,5 carreaux

3: Calculons la hauteur du rectangle qui aurait comme longueur la période ( 18 unités)

soit: 52,5/18 = 2,9 unités soit 5,8v2

4: La racine carrée de la valeur précédemment déterminée est la valeur efficace:

soit: Ueff =√5,8 = 2,4v

Fichier XLSx pour la construction des courbes

Validation mathématique de la méthode précédente: