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Résonance (LC série et //)

1 La résonance, généralités:

- Définition: (WIKIPEDIA) La résonance est un phénomène physique selon lequel certains systèmes physiques (électrique ici) sont sensibles à certaines fréquences. Un système résonant accumule de l'énergie si elle est appliquée de manière périodique proche de la fréquence dite de résonance. Soumis à de telles excitations, le système va être le siège d'oscillations qui peuvent être de plus en plus importantes, jusqu'à atteindre un équilibre qui dépend de la dissipation d'énergie dans ce système. Dans bien des cas, c'est la rupture d'un composant du système qui fait cesser le phénomène.

- Système électrique: Dans notre cas, nous étudions un système électrique composé d'une bobine et d'un condensateur, voire d'une résistance. L'ensemble peut être monté en série ou en parallèle. Le cas où la bobine n'est pas parfaite et qui possède donc sa résistance propre sera séparée.

Circuit R, L, C en série:

 

fig1

Circuit R, L, C en parallèle:

 

 

fig2

Circuit L, C parallèle avec L possédant de la résistance

(R3 représente la résistance de la bobine L3)

 

fig3


Dans les trois cas le système électrique est alimenté par un générateur de tension ou de courant alternatif de fréquence variable.

La fréquence d'excitation sera f (Hz), sa période T = 1/f (s).

La pulsation sera ω = 2.π.f (en radian par seconde :rd.s-1)


Question à l'examen:

 

  • A         5 Ω
  • B 31Ω
  • C infini
  • D 8 Ω (Bonne réponse)

2- Le circuit série:

2-1 Impédance:

Reprenons le schéma représenté en fig1: L'impédance totale du circuit est Zt = R +ZL +Zc;

Ce qui s'écrit Zt = r +jLω -j/Cω (notation dite complexe) dont le module est:

Zt= √(R2 +  (L.ω - 1/C.ω)2)

2-2 Formule de Thomson

La résonance est définie par la fréquence (ou pulsation) pour laquelle L.ω =1/C.ω

La valeur particulière de cette fréquence ou (pulsation ω0) est appelée fréquence de résonance ou fréquence propre du circuit:

ω02 = 1/L.C ou encore ω0 = 1/√(L.C) d'où on tire f0 = 1/(2.π.√(L.C))

C'est la formule de Thomson!

2-3 Impédance à la résonance:

A la résonance l'impédance du circuit est égale à R, et le circuit est équivalent à une résistance pure R. (Réponse à la question d'examen)

2-4 Courant à la résonance:

Le courant est alors maximum. Il vaut I = V/R.

2-5 Surtension:

Le courant étant maximum, la tension aux bornes de la bobine (L+R) ou du condensateur peuvent prendre des valeurs importantes, supérieures à la tension d'alimentation du circuit:

V(L+R)= V. Q

Q est le coefficient de qualité à la résonance. Il vaut: Q = Lω0/R

Une autre forme de ce coefficient  est: Q = (1/R).√(L/C)

2-6 Bande passante:

La bande passante est Δf = f0/Q.

C'est la différence des fréquences où la tension aux bornes de la résistance a été divisée par √2.

2-7 Simulation:

Nous faisons une analyse en fonction de la fréquence du schéma  donné fig1. Les valeurs des composants sont les suivantes:

Vac = 1 volt; C = 1 nF; L= 10 mH; R = 100 Ω

 

 La fréquence de résonance est suivant la formule de Thomson:

f0 = 1/2π√(L.C) = > 1/2π√(10.10-3 . 1.10-9) = 50,329 kHz

La simulation donne f0 = 50,098kHz

L'impédance à la résonance est R, soit 100 Ω théoriquement, la simulation donne R = V/I soit :

I = 1/9,8mA = 102 Ω

Le coefficient de surtension Q = Lω0/R vaut 31,4. La tension V(L+R) sera de 31,4v.

La surtension calculée de 20 log (31,4/1) = 29,94 db

La simulation donne à la résonance un rapport V(L+R) / V  de 30db.

Compléments sur circuit série: ICI

3 Le circuit parallèle:

Le schéma correspondant est celui de la fig2. L'utilisation d'un générateur de courant permet la mise en évidence des phénomènes.

3-1 Impédance:

En prenant en compte, dans un premier temps uniquement L2 et C2, l'impédance est :

Z' = L2ω/(1-L2C2ω2)

L'impédance du circuit fig2. sera déterminer par la mise en parallèle de Z' avec R2.

3-2 Formule de Thomson:

Il est facile de voir que Z est égale à l'infini pour une pulsation ω0 qui annule le dénominateur de l'équation de Z'. C'est un circuit "bouchon".

Soit ω0 = 1/√(L2C2) et toujours:  f0 = 1/(2.π.√(L.C))

3-3 Impédance à la résonance:

Pour cette fréquence f0, l'impédance L2C2 étant infinie, l'impédance du circuit fig2 vaut R2.

3-4 Tension à la résonance:

A la résonance, l'impédance L2//C2 est infinie, l'impédance globale est égale à R2. La tension aux bornes du circuit est V = R2 . I.

3-5 Simulation:

Reprenons l'analyse en fréquence du montage fig2.

Les valeurs sont: Iac =1mA; L2 = 10mH; C2 = 1nF; R2 = 10K

 

La fréquence de résonance est suivant la formule de Thomson : 50,3 kHz, la simulation donne 50,119kHz.

L'impédance à la résonance est z= V/Iac soit 10/1E-3= 10KΩ

4 Le circuit parallèle avec bobine résistive:

Ce circuit correspond à la réalité d'un montage en parallèle d'un condensateur et d'une bobine avec résistance propre, fig3.

Question à l'examen:

 

  • A : 50 kΩ (Bonne réponse)
  • B: 5 kΩ
  • C: infinie
  • D: 4 Ω

4-1 Impédance:

Le module de l'impédance est donné par:

 

4-2 Formule de Thomson:

Dans la formule ci-dessus Z est maximum lorsque le dénominateur est le plus petit, c'est à dire pour  L3C3 ω2 - 1 = 0 .

Soit ω0 = 1/√(L3C3) et toujours: f0 = 1/(2.π.√(L.C))

4-3 Impédance à la résonance:

A la résonance, ce circuit devient équivalent à une résistance dont la valeur est:

 

C'est la formule qui permet de trouver la réponse à la question d'examen.....

4-4 Tension à la résonance:

Comme précédemment, la tension aux bornes du circuit, à la résonance, présente un maximum.

V = Ia Z0

4-5 Simulation:

Tracé de la variation d'impédance en fonction de la fréquence

 

La fréquence de résonance est toujours la même et ne dépend que des valeurs de L et C.

La courbe représente la variation de Z en fonction de la fréquence. Elle est de l'ordre de 100 kΩ

La tension maximum est de V= Z Ia soit  V = 100E3 . 1E-3 soit 100V.

4-6 Coefficient de qualité:

Le coefficient de qualité est donné par:

 

Alimenté par un générateur de tension, le circuit présente un minimum de courant et une impédance maximum à la résonance. Cette propriété est utilisée pour réaliser les "trappes" des antennes W3DZZ par exemple.

 

 

Compléments sur le circuit  C//L+R <=cliquez!

Démonstration de certaines formules: